Weakly strongly regular uniform algebras

Given a uniform algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on a compact Hausdorff space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and a point <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , denote by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript x"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the ideal of functions in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that vanish at <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript x"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">J_x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the ideal of functions in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> that vanish on a neighborhood of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . It is shown that for each integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than-or-equal-to 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m\geq 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , there exists a compact plane set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> containing the origin such that in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R(K)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> we have <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J Subscript x Baseline overbar superset-of upper M Subscript x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo accent="false"> ¯ </mml:mo> </mml:mover> <mml:mo> ⊃ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\overline {J_x}\supset M_x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x element-of upper K minus StartSet 0 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo class="MJX-variant"> ∖ </mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x\in K\setminus \{0\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J 0 overbar superset-of upper M 0 Superscript m">