Elementary Brezis–Browder type results and representation formulae for 𝑠-harmonic functions

We prove Brezis–Browder type results for fractional Sobolev spaces and quantitative type estimates for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="s"> <mml:semantics> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">s</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> –harmonic functions. Furthermore, we give sufficient conditions for distributional solutions to the fractional Poisson’s equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis negative normal upper Delta right-parenthesis Superscript s Baseline u equals upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(-\Delta )^su=T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript d"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to be of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u left-parenthesis x right-parenthesis equals integral Underscript double-struck upper R Superscript d Baseline Endscripts StartFraction upper T left-parenthesis y right-parenthesis Over StartAbsoluteValue x minus y EndAbsoluteValue Superscript d minus 2 s Baseline EndFraction d y plus l comma l element-of double-struck upper R period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} u(x)=\int _{\mathbb {R}^d}\frac {T(y)}{|x-y|^{d-2s}}dy+l,\quad l\in \mathbb {R}. \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula>