1-Cycle Deformations for Yetter-Drinfeld Coalgebras

Abstract For a quasi-Hopf algebra H , we study two types of 1-cycle deformations for a coalgebra C within the category of Yetter-Drinfeld modules over H , $${}_H^H{\mathcal YD}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . The two deformations produce C -comodule structures in $${}_H^H{\mathcal YD}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and new coalgebra structures on C in $${}_H^H{\mathcal YD}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow/> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , respectively. We show that the isomorphism types of these structures are described by a 1-homology $${\mathcal H}^1_H(C, H_0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> that we will introduce. Then we apply our results to the so called symplectic fermion quasi-Hopf algebras, algebras recently introduced by Farsad, Gainutdinov and Runkel.