Congruence properties modulo prime powers for a class of partition functions

Abstract Let p be prime, and let $$p_{[1,p]}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denote the function whose generating function is $$\prod (1-q^n)^{-1}(1 - q^{pn})^{-1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>pn</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . This function and its generalizations $$p_{[c^{\ell }, d^m]}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are the subject of study in several recent papers. Let $$\ell \ge 5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , let $$j\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and let $$p \in \{2, 3, 5\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we prove that the generating function for $$p_{[1, p]}(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in the progression $$\beta _{p, \ell , j}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> modulo $$\ell ^j$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> with $$24\beta _{p, \ell , j} \equiv p + 1\ (\textrm{mod}\ \ell ^j)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">