Global Bifurcation Theory for Fredholm Operator via Odd Crossing Number and Its Application

We establish the Rabinowitz-type global bifurcation theorem and the Dancer-type unilateral global bifurcation theorem for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:math> is a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> map and locally proper with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:math> are real Banach spaces with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:math> . Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be the closure of the set of nontrivial solutions of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> . We shall show that, if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> is a Fredholm operator with index <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> has an odd crossing number at <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:math> , then <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">S</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> possesses a maximal component <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">C</mml:mi> </mml:mrow>