Extreme value inference for heterogeneous heavy-tailed data : A derandomization theory

Une difficulté mathématique majeure dans l'étude des estimateurs de paramètres en valeurs extrêmes définis comme des excès moyens empiriques réside dans leur dépendance en des statistiques d'ordre élevées au-dessus d'un seuil aléatoire. L'objectif de cette thèse est de développer des outils flexibles permettant d'obtenir le comportement asymptotique de tels estimateurs dans le cas particulièrement complexe de données à queues lourdes, indépendantes mais non identiquement distribuées, avec des extensions possibles à des cadres dépendants.En s'appuyant sur des arguments de dérandomisation à la fois simples et novateurs, nous établissons au Chapitre 1 des conditions suffisantes pour calculer la loi asymptotique conjointe des excès empiriques de queue, de l'Expected Shortfall, ainsi que du seuil aléatoire sous-jacent. Ce résultat général permet de prendre en compte un fort degré d'hétérogénéité dans le modèle, ainsi qu'une possible dépendance temporelle entre les observations.Lorsque les données hétérogènes sont indépendantes et que leur loi de probabilité dite moyenne présente une queue lourde, nous obtenons au Chapitre 2 des résultats de normalité asymptotique pour l'estimateur de Hill de l'indice de valeurs extrêmes, l'estimateur de Weissman des quantiles extrêmes, ainsi que pour deux estimateurs de l'Expected Shortfall au-delà d'un niveau extrême. Ces résultats reposent sur des conditions sensiblement plus faibles que celles de la littérature récente, tout en demeurant aisément vérifiables et interprétables. Nous établissons notamment des expressions explicites précises du biais et de la variance asymptotiques de chaque estimateur.Le Chapitre 3 démontre que nos hypothèses sont satisfaites dans un large éventail de modèles où les résultats existants ne s'appliquent pas nécessairement, couvrant des situations pratiques telles que les échantillons contaminés, le regroupement de plusieurs populations, l'omission d'informations issues de covariables observées ou encore les modèles à paramètres d'échelle hétérogènes.Afin d'illustrer l'impact de l'hétérogénéité sur le comportement asymptotique des estimateurs de Hill, de quantiles extrêmes et d'Expected Shortfall extrême, le Chapitre 4 présente une étude sur simulations Monte Carlo dans trois contextes : échantillons contaminés, regroupement de populations et modèles à paramètres d'échelle hétérogènes.Le Chapitre 5 examine les implications pratiques de nos résultats à travers trois applications empiriques portant sur les domaines du risque cybernétique, du risque financier et de la gestion des catastrophes naturelles.Enfin, le Chapitre 6 ouvre plusieurs perspectives de recherche, notamment l'extension au cadre multivarié, la prise en compte de modèles non limités aux queues lourdes, et le traitement de la dépendance entre les données hétérogènes.