N =1 Super Virasoro Tensor Categories

We show that the category of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> </mml:math> -cofinite modules for the universal <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> super Virasoro vertex operator superalgebra <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> at any central charge <i>c</i> is locally finite and admits the vertex algebraic braided tensor category structure of Huang-Lepowsky-Zhang. For central charges <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>ns</mml:mi></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac><mml:mn>15</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∉</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , we show that this tensor category is semisimple, rigid, and slightly degenerate, and we determine its fusion rules. For central charge <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>ns</mml:mi></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac><mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> , we show that this tensor category is rigid and that its simple modules have the same fusion rules as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtext>Rep</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mi>osp</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> , in agreement with earlier fusion rule calculations of Milas. Finally, for the remaining central charges <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>ns</mml:mi></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo></mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , we show that the simple <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>ns</mml:mi></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> -module <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> of lowest conformal weight <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msubsup><mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> <mml:mi>ns</mml:mi></mml:msubsup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>3</mml:mn> <mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn></mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi></mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> is rigid and self-dual, except possibly when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>±</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> is a negative integer or when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msup><mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>ns</mml:mi></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the central charge of a rational <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow> </mml:math> superconformal minimal model. As <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is expected to generate the category of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn></mml:msub> </mml:math> -cofinite <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup><mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>ns</mml:mi></mml:msup> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> -modules under fusion, rigidity of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is the first key step to proving rigidity of this category for general <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>Q</mml:mi></mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo></mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> .