Inverse Problems for Bathymetry in Water-Waves and Spectral Analysis of Isogeometric Laplace Discretizations

La connaissance de la topographie sous-marine (bathymétrie) dans les rivières et les océans est indispensable pour de nombreuses applications réelles, notamment la conception de plateformes offshore et de ports, la sécurité de la navigation maritime, ainsi que la modélisation et prédiction de la propagation des tsunamis. L’estimation précise de cette géométrie est difficile et nécessite souvent des mesures sur site, par exemple au moyen de sondages acoustiques (sonar). Cependant, ces techniques sont longues et coûteuses, en particulier pour de larges zones maritimes ou fluviales. Dans cette thèse,nous adoptons une approche de modélisation, en considérant le profil du fond comme un coefficient variable dans les équations gouvernant l’écoulement. Plus précisément,nous modélisons la dynamique de l’écoulement avec le système général des ondes de surface, puis avec sa simplification asymptotique en eaux peu profondes (système de Saint-Venant). Pour chacun des deux modèles, nous étudions le problème inverse de reconstruction de la bathymétrie à partir de mesures effectuées à la surface libre du fluide (ondes). Notre méthodologie consiste d’abord à établir l’unicité et la stabilité mathématiques pour les deux problèmes inverses ; puis à développer des solveurs rapides et précis pour la détection dans des contextes réels.En raison de cette intersection claire entre les mathématiques, le calcul numérique et la physique, notre travail se structure autour de deux axes : l’analyse de ces problèmes inverses et la discrétisation par éléments finis basés sur l’analyse isogéométrique de systèmes elliptiques du second ordre, en particulier le système de Laplace modélisant l’écoulement potentiel, relié directement au premier problème inverse. La thèse est structurée en quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous considérons le système général des ondes de surface en dimension d + 1, avec d = 1, 2, et établissons l’identifiabilité et une stabilité de type log–log (et log). Motivé par la nature mal posée de ce problème, le deuxième chapitre reformule le problème inverse via le modèle uni-dimensionnel des eaux peu profondes et démontre l’unicité ainsi qu’une stabilité lips-chitzienne. Ce chapitre propose également un algorithme efficace accompagné d’une validation numérique de l’approche. Les deux derniers chapitres de la thèse concernent les discrétisations IGA d’opérateurs elliptiques du second ordre. Le premier présente un solveur analytique rapide pour des systèmes de Laplace sur des boîtes de dimension générale d, tandis que le dernier chapitre examine un cas particulier d’opérateur elliptique du second ordre à coefficients variables et fournit de nouvelles informations et estimations pour les fréquences propres de l’opérateur discrétisé par IGA.