Stabilization, control and unique continuation of some nonlinear dispersive partial differential equations

Dans cette thèse, nous développons une nouvelle technique abstraite pour obtenir des résultats de prolongement unique pour des EDP dispersives non linéaires à non-linéarités analytiques. Nous nous appuyons sur des résultats d'observabilité linéaire, combinés à une approximation de Galerkin exploitant les interactions non linéaires, afin d'obtenir la propagation globale de l'analyticité en temps depuis une région observée. Appliquée aux équations non linéaires des ondes, de Schrödinger et des plaques sur des variétés compactes, cette approche fournit un prolongement unique pour les solutions qui s'annulent sur la région observée, et nous permet d'en déduire des résultats de stabilisation et de contrôle semi-globaux pour les modèles précédents. Une partie complémentaire traite d'une équation de Korteweg-de Vries à dispersion discontinue, où de nouvelles inégalités de Carleman conduisent à des résultats de contrôlabilité et de problèmes inverses. Au premier chapitre, nous présentons des préliminaires de théorie du contrôle en passant en revue des résultats connus d'observabilité pour des EDP dispersives linéaires, des résultats de prolongement unique, ainsi que les principales difficultés rencontrées pour obtenir des résultats de contrôle global pour les modèles qui nous intéressent. Nous décrivons également brièvement les résultats obtenus dans cette thèse. Au deuxième chapitre, fondé sur un travail en collaboration avec Camille Laurent, nous introduisons la méthode, qui combine l'observabilité et une approximation de Galerkin inspirée par Hale et Raugel, afin de propager l'analyticité en temps à l'ensemble de la solution à partir d'une région omega où l'observabilité est vérifiée. Pour l'équation des ondes semi-linéaire, cela conduit à un résultat de prolongement unique en temps fini pour les solutions s'annulant sur une région omega satisfaisant la condition géométrique de contrôle (GCC). Dans le cas défocalisant sous-critique, nous obtenons l'inégalité d'observabilité non linéaire correspondante au temps optimal de la GCC. Nous montrons enfin que notre technique abstraite s'applique également à d'autres EDP, telles que les équations de plaques non linéaires. Au troisième chapitre, nous affinons la technique précédemment introduite en relâchant une hypothèse de compacité sur la non-linéarité. Cela nous permet d'obtenir la propagation globale de l'analyticité et le prolongement unique pour des équations de Schrödinger semi-linéaires sur des variétés compactes de dimension 2 et 3, à partir d'une région omega satisfaisant la GCC. Comme conséquence principale, nous prouvons que la seule GCC suffit pour obtenir la stabilisation et le contrôle semi-globaux, répondant positivement à une question ouverte de Dehman, Gérard et Lebeau (2006) dans le cas nonlinéaire. Au quatrième chapitre, nous prouvons la stabilisation semi-globale pour des plaques non linéaires sous des conditions au bord de type charnière (hinged) dans le cas défocalisant. L'étape clé est une nouvelle propriété de prolongement unique non linéaire pour l'équation des plaques, qui assouplit les exigences géométriques usuelles rencontrées dans la littérature. En outre, sous une hypothèse de défocalisation asymptotique, on obtient un contrôle semi-global en analysant les propriétés de contrôle à l'intérieur de l'attracteur compact fourni par la dynamique de l'équation amortie. Au cinquième chapitre, nous étudions des propriétés liées à l'observabilité de l'équation de Korteweg-de Vries avec un coefficient principal discontinu, couplée par des conditions d'interface appropriées. Nous établissons une nouvelle inégalité de Carleman pour l'équation linéaire avec observation interne, sous une condition de monotonie sur le coefficient principal. Comme principales applications, nous prouvons le contrôle local vers des trajectoires et la stabilité Lipschitz du problème inverse de reconstruction d'un potentiel inconnu au moyen de la méthode de Bukhgeim-Klibanov.