Arithmetic of families of hyperelliptic curves

Cette thèse est consacrée à l’arithmétique des familles de courbes hyperelliptiques et au comportement de leurs invariants arithmétiques en fonction des paramètres indexant la famille. La motivation principale est la résolution d’équations diophantiennes, et plus généralement l’étude des points rationnels sur les variétés algébriques. Dans la première partie de cette manuscrit, nous étudions la croissance asymptotique de l’ordre du groupe de Tate–Shafarevich dans une famille de jacobiennes hyperelliptiques définies sur des corps de fonctions. Nous produisons une suite explicite (Ja)a≥1 de surfaces abéliennes définies sur le corps des fonctions Fq(t) dont les groupes de Tate–Shafarevich sont finis et grands. Plus précisément, nous prouvons l’estimation |X(Ja)| = H(Ja)1+o(1)lorsque a → ∞, où H(Ja) désigne la hauteur exponentielle de Ja. Notre méthode consiste à démontrer que chaque Ja satisfait la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, analyser ensuite la géométrie et l’arithmétique de son modèle de Néron, et enfin donner une expression explicite de sa fonction L en termes de sommes de Gauss et de Kloosterman. En étudiant la distribution relative des angles associés à ces sommes de caractères, nous estimons la valeur spéciale de L(Ja, T ) et par conséquent l’ordre de X(Ja). Dans la seconde partie de ce thèse, nous étudions des équations de Fermat généralisées (EFG) de plusieurs signatures, et nous fournissons des outils théoriques et numériques permettant de démontrer la non existence de solutions primitives non triviales. Nous suivons les idées du programme de Darmon pour résoudre des familles infinies d’EFGs de signatures (p, p, r) et (r, r, p), où r est un nombre premier fixé et p varie. Pour ce faire, nous introduisons un cadre commun, qui permet de traiter de façon uniforme les deux types d’équations. Nous analysons en détail la géométrie des courbes hyperelliptiques de Frey, ainsi que les types de réduction des modèles de Néron de leurs jacobiennes. Nous étudions ensuite les représentations galoisiennes 2-dimensionnelles associées : modularité, irréductibilité et abaissement du niveau. Nous fournissons un paquet Magma qui effectue l’étape d’élimination pour de nombreux choix de coefficients et d’exposant r. Dans le but d’illustrer le caractère effectif de nos résultats, nous résolvons plusieurs exemples de familles d’EFGs de signatures (p, p, 5) et (5, 5, p).