Adaptive importance sampling in high dimension for rare event probability estimation : theoretical analysis and numerical developments

Ce manuscrit porte sur l'échantillonnage préférentiel en grande dimension appliqué à l'estimation de probabilité d'événements rares dans un cadre statique. La problématique générale consiste à développer et analyser théoriquement des méthodes numériques capables de surmonter les difficultés liées à la grande dimension et à l'inefficacité des approches de Monte Carlo classiques dans ce contexte. Nous étudions notamment la consistance en grande dimension d'un algorithme connu d'échantillonnage préférentiel adaptatif basée sur l'entropie croisée. Nous montrons ainsi qu'une taille d'échantillon qui croît de manière polynomiale avec la dimension suffit à garantir la consistance et à éviter le phénomène de dégénérescence des poids.De plus, l'algorithme de l'entropie croisée construit à chaque itération des estimateurs de matrices de covariance par échantillonnage préférentiel. En utilisant des inégalités récentes de concentration matricielle issues de la théorie des matrices aléatoires, il est possible de contrôler les spectres de ces estimateurs de covariance. Les analyses proposées permettent ainsi de comparer les performances de différentes variantes de l'algorithme de l'entropie croisée, en observant l'évolution du spectre au fil des itérations.Enfin, pour l'estimation de la probabilité d'un événement rare de nature multimodale, nous développons un nouvel algorithme basé sur la dynamique de Langevin en interaction et invariante par transformation affine dans le cadre d'un échantillonnage préférentiel par chaines de Markov.