Isotopisms of quadratic quasigroups

A quasigroup is a pair <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> is a non-empty set and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:math> is a binary operation on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Q</mml:mi> </mml:math> such that for every <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> there exists a unique <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> be an odd prime power, let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> denote the finite field of order <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> , and let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ℛ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> denote the set of non-zero squares in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> be such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ℛ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>𝒬</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> denote the quadratic quasigroup <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>𝔽</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is defined by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced close="" open="{" separators=""> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mrow> <mml:mtext>if</mml:mtext> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi>