Nonnegative solutions to a weighted indefinite elliptic Schrödinger equation

Abstract In this paper, we consider the following weighted problem involving an indefinite nonlinearity: $$\begin{aligned} \left\{ \! \begin{array}{lllllll} -\operatorname {div}(g(x)\nabla u)\!=\!\lambda _{1}\beta (x)u\!+\!\mu f(x,u)\!+\!W(x)h(u)\!+\! \eta u^{2_s^*\!-\!1}\ \text {in} \ \Omega ,\\ u=0 \ \text {on} \ \partial \Omega ,\\ u(x)\ge 0 \ \text {in} \ \Omega . \end{array}\right. \quad (P_{\mu ,\eta }) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>div</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mspace/> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where <jats:alternati