Some Properties of the $$\text{ A}_{\infty }$$-Nerve

Abstract The aim of this paper is to prove that the $$\text{ A}_{\infty }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mtext>A</mml:mtext> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> -nerve of two quasi-equivalent $$\text{ A}_{\infty }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mtext>A</mml:mtext> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> -categories (linear over a commutative ring) are weak-equivalent in the Joyal model structure. As a consequence we prove that the $$\text{ A}_{\infty }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mtext>A</mml:mtext> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> -nerve of a pretriangulated $$\text{ A}_{\infty }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mtext>A</mml:mtext> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> -category is a stable $$\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> -category.