Compact positive multilinear operators on Banach lattices

Abstract Let $$1&lt; p_1, \ldots , p_n&lt; \infty , 1\le q &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be such that $$\sum \limits _{i=1}^n \frac{1}{p_i} &lt; \frac{1}{q}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and let $$\mu _1, \ldots , \mu _n, \nu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> be arbitrary measures. Generalizing known linear and multilinear results, we prove that all positive n -linear operators from $$\ell _{p_1} \times \cdots \times \ell _{p_n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> to $$L_q(\nu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and from $$L_{p_1}(\mu _1) \times \cdots \times L_{p_n}(\mu _n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to $$\ell _{q}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are compact. This result, along with other related ones concerning free Banach lattices, shall emerge as consequences of some facts we prove about M -weakly compact multilinear operators on Banach lattices.