Control and analysis of nonlinear and set-valued networks

Ce travail traite de la synchronisation robuste de réseaux hétérogènes et du caractère bien posé (c’est-à-dire l’existence et l’unicité des solutions) des systèmes de complémentarité coniques linéaires variables dans le temps. Les systèmes dynamiques non linéaires à entrées multiples et sorties multiples variant dans le temps, avec des matrices de feedthrough non nulles, sont considérés comme des agents pour la synchronisation. Nous proposons une nouvelle classe de lois de couplage non lisses et non linéaires à valeurs multiples, construites par des contraintes de complémentarité linéaire, étendant la loi de couplage diffusif linéaire conventionnelle. Sous ces lois de couplage, les agents sont interconnectés, formant un réseau en boucle fermée dont la dynamique est décrite par un système de complémentarité variant dans le temps.Le caractère bien posé d’un tel système est étudié en détail, avec des conditions suffisantes fournies pour garantir l’existence et l’unicité de solutions absolument continues et à variations localement bornées, continues à droite. Ces résultats assurent le caractère bien posé du réseau et de sa dynamique d’erreur associée, ce qui constitue unpréalable pour de futures investigations sur de tels réseaux. Les points d’équilibre et leur stabilité (exponentielle et en temps fini) sont analysés de manière approfondie. De plus, la robustesse de la dynamique de l’erreur face aux incertitudes et aux perturbations est examinée en détail. Il est montré que, sous les lois de couplage proposées, le réseau hétérogène peut atteindre une synchronisation globale exponentielle et en temps fini.Un algorithme est présenté pour identifier la structure de ces lois de couplage, et l’implémentation pratique est abordée à travers des algorithmes permettant de calculer des contrôleurs en temps discret garantissant la synchronisation du réseau dans diversscénarios. Il est montré que le cadre proposé permet de considérer de nouvelles lois de commandes par retour non lisses. La passivité, les problèmes de complémentarité linéaire, la monotonie maximale et les inégalités variationnelles sont les principaux outils d’analyse. Plusieurs exemples académiques et de circuits électriques sont présentés, avec des simulations numériques illustrant les résultats théoriques et validant les algorithmes proposés. Enfin, une extension aux réseaux d’agents dans lesquels toutes les données varient dans le temps est étudiée.