Numerical analysis and simulation of staggered schemes for low Mach number flows

Cette thèse s'intéresse à la simulation d'écoulements dans des réacteurs nucléaires dans un but d'améliorer les conditions de sûreté. L'objectif d'une simulation est, par définition, de préserver fidèlement les propriétés du modèle sous-jacent. De fait, puisqu'en régime nominal de ces réacteurs les écoulements sont considérés comme étant à bas nombre de Mach, il est essentiel d'avoir un outil numérique capable de capturer convenablement ce type d'écoulements. D'un autre côté, les équations de la mécanique des fluides, qui régissent ces écoulements, dérivent fondamentalement de principes de conservation. Répliquer cette propriété de conservation numériquement est possible, notamment grâce aux très populaires méthodes de volumes finis. Cependant, il est bien connu que ces dernières ne sont généralement pas précises à bas nombre de Mach. Il existe toutefois un cas particulier où cette limitation disparaît : sur des maillages simpliciaux, ces dernières peuvent récupérer sans correction cette précieuse précision. Une interprétation possible de cette propriété inattendue est qu'il existe dans ce cas particulier une décomposition de Hodge-Helmholtz sur l'espace des vitesses discrètes.Par ailleurs, il existe des méthodes, dites décalées, qui semblent être les candidates idéales pour préserver sur des maillages plus variés cette structure, mais pour lesquelles la notion de conservation est mal définie.Ainsi, notre proposition est double : d'une part nous cherchons à étendre les propriétés de conservation de schémas classiques au formalisme décalé, d'autre part, nous introduisons une méthodologie permettant d'obtenir des schémas numériques précis à bas nombre de Mach que nous appliquons au cas d'une discrétisation décalée.En pratique, un lien bien établi relie la limite à bas nombre de Mach et la limite en temps long d'un système d'ondes, via une analyse asymptotique en nombre de Mach. Ce lien permet de ramener le problème de la précision à bas nombre de Mach à celui, plus simple, de la capture de la limite en temps long d'un système linéaire.Cette limite, au niveau continu, est caractérisée par une décomposition de Hodge-Helmholtz, elle-même issue d'un cadre plus général : les complexes de de Rham.La première étape consiste à introduire une discrétisation décalée du système d'ondes fondée sur un complexe de de Rham discret. Cette structure, bien qu'a priori éloignée des problématiques classiques d'analyse numérique, permet de préserver au niveau discret des propriétés fondamentales des équations aux dérivées partielles.Nous montrons qu'elle conduit à l'identification d'une limite en temps long correspondant à une décomposition de Hodge-Helmholtz discrète particulière. Cette discrétisation est ensuite étendue au système d'Euler barotrope.La conservation est obtenue en travaillant directement sur ce système, tandis que la précision à bas nombre de Mach résulte de la consistance en temps long du schéma décalé sur le système d'ondes.Enfin, des implémentations sur la plateforme C++ SolverLab permettent d'illustrer numériquement la validité des propositions pour le système d'ondes et le système d'Euler barotrope.