Analytical phase kurtosis of the constant gradient spin echo.

The Gaussian phase approximation (GPA) underlies many standard diffusion magnetic resonance (MR) signal models, yet its validity is rarely scrutinized. Here, we assess the validity of the GPA by analytically deriving the excess phase kurtosis <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is the <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mtext>th</mml:mtext></mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> cumulant of the accumulated phase distribution due to motion. We consider the signal behavior of the spin echo with constant gradient amplitude <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>g</mml:mi></mml:math> and echo time <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>T</mml:mi></mml:math> in several one-dimensional model systems: (1) a stationary Poisson pore-hopping model with uniform pore spacing <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi></mml:math> and mean inter-hop time <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mtext>hop</mml:mtext></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> ; (2) a trapped-release model in which spin isochromats are initially immobilized and then released with diffusivity <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> following an exponentially-distributed release time, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mtext>rel</mml:mtext></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> ; and (3) restricted diffusion in a domain of length <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>L</mml:mi></mml:math> . To our knowledge, this is among the first systematic analytical treatments of spin echo phase kurtosis without assuming Gaussian compartments or infinitesimally short gradient pulses. In the pore-hopping system, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mtext>hop</mml:mtext></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi></mml:math> , inversely proportional to the mean hop number, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mtext>hop</mml:mtext></mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> . In the trapped-release system, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> is positive and decreases roughly log-linearly with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mtext>rel</mml:mtext></mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>τ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mtext>rel</mml:mtext></mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> is the average release time. For restriction, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>4</mml:mn></mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msubsup><mml:mrow><mml:mi>κ</mml:mi></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> <mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> vanishes at small and large <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msqrt><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi></mml:msqrt> </mml:math> , but has complicated intermediate behavior. There is a negative peak at <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msqrt><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi></mml:msqrt> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:mn>1.2</mml:mn></mml:math> and a positive peak at <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msqrt><mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi></mml:msqrt> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:mn>4.4</mml:mn></mml:math> . Monte Carlo simulations are included to validate the analytical findings. Overall, we find that the GPA does not generally hold for these systems under moderate experimental conditions, i.e., <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>ms</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:mn>0.2</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>0.6</mml:mn> <mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>T</mml:mtext> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mtext>m</mml:mtext></mml:math> . These results suggest that signal models reliant on the GPA must be carefully examined, particularly for strong, extended gradients and in media with complex kinetics, morphology, and/or microstructure.