One-point restricted conformal blocks and the fusion tensor product

Abstract We investigate a one-point restriction of conformal blocks on $$(\mathbb {P}^1,\infty ,1,0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> associated with modules over a vertex operator algebra V . By restricting the module attached to the point $$\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:math> to its bottom degree, we obtain a new formula for computing fusion rules in terms of a new left A ( V )-module $$M^1 \odot M^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⊙</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> over the Zhu algebra A ( V ), constructed from two V -modules $$M^1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> and $$M^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . As a consequence, for strongly rational vertex operator algebras, the construction of $$M^1 \odot M^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⊙</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> induces the fusion tensor product on the module category $$\textsf{Mod}(A(V))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Mod</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .