Product of random matrices and multitype branching processes in infinite dimension

Les processus de Galton-Watson forment une large classe de modèles de populations en temps discret, où des individus se reproduisent aléatoirement, de manière asexuée et sans interaction.L'objectif de cette thèse est d'en étudier une variante où chaque individu a un type et la reproduction des individus est influencée par un environnement, représenté par un processus aléatoire stationnaire et ergodique. Plus précisément, la loi de probabilité de la descendance d'un individu dépend à la fois du type de cet individu et de l'état de l'environnement à l'instant où il vit. L'étude de ce processus requiert la compréhension de sa moyenne dite textit{quenched}, c'est à dire conditionnelle à la suite des environnements rencontrés par le système. Cette moyenne est alors liée à un produit d'opérateurs linéaires positifs aléatoires, qui agissent sur des espaces de mesures et de fonctions. Dans le cas où les types des individus prennent leurs valeurs dans un ensemble fini, ces opérateurs sont en fait simplement des matrices positives. La théorie des produits de matrices aléatoires, initiée dans les années 1960, est très riche et a permis d'aboutir récemment à une compréhension fine des processus de Galton-Watson associés. On se concentre ici sur le cas moins exploré où l'ensemble des types possibles est infini. Nous établissons tout d'abord un résultat d'ergodicité pour des produits d'opérateurs aléatoires en dimension finie. Il nécessite l'obtention d'une propriété de contraction projective, qu'on obtient grâce à l'application de minorations de Doeblin sur une chaîne de Markov inhomogène sous-jacente. Pour les processus de Galton-Watson associés, ces résultats d'ergodicité impliquent la croissance exponentielle de la population à un taux déterministe, indépendant de la population initiale et donné par l'exposant de Lyapounov du produit d'opérateurs. De plus, la répartition des types dans la population moyenne ne dépend plus de la population initiale en temps long. De ces résultats en moyenne quenched, nous déduisons tout d'abord l'extinction presque sûre de la population quand l'exposant de Lyapunov est négatif. Ensuite, nous obtenons un théorème de Kesten-Stigum, qui, lorsque l'exposant de Lyapunov est positif, sous de bonnes conditions d'intégrabilité, garantit que sur un événement de probabilité non nulle, la population survit et sa taille croit à une vitesse géométrique déterminée par l'exposant de Lyapounov. De plus, la distribution des types en son sein est celle prévue par la moyenne quenched du processus, qui asymptotiquement ne dépend pas de la population initiale. Nous appliquons ces résultats à une classe de processus modélisant une population structurée en âge (sans notion d'âge maximal) dont les matrices moyennes sont des variantes infinies des matrices de Leslie, utilisées depuis plusieurs décennies en démographie et écologie.