Controlling LEF growth in some group extensions

For a finitely generated LEF group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math> , we study the orders of finite groups admitting local embeddings of balls in a word metric on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math> , as measured by the <i>LEF growth function</i>. We prove that any sufficiently smooth increasing function between <i>n</i>! and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>exp</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is close to the LEF growth function of some finitely generated group. This is achieved by estimating the LEF growth of some semidirect products of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>FSym</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace></mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>↶</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> is an appropriate transitive action and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>FSym</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace></mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:math> is the group of finitely supported permutations of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math> . A key tool in the proof is to identify sequences of finitely presented subgroups with short "relative" presentations. In a similar vein, we also obtain estimates on the LEF growth of some groups of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>⋊</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi></mml:mrow> </mml:math> , for <i>R</i> an appropriate unital ring and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow><mml:msub><mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> the subgroup of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub><mml:mrow><mml:mspace></mml:mspace> <mml:mtext>Aut</mml:mtext> <mml:mspace></mml:mspace></mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi></mml:msub> <mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo></mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> generated by all transvections with respect to basis <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math> .