Finite-dimensional homogeneous control for some classes of infinite-dimensional systems

Cette thèse se concentre sur la conception de contrôleurs non linéaires homogènes en dimension finie pour les phénomènes physiques en dimension infinie modélisés par des équations différentielles partielles (EDPs) paraboliques, telles que les processus thermiques et les écoulements. Pour stabiliser les systèmes de contrôle en dimension infinie étudiés, nous avons choisi la décomposition modale comme méthode de stabilisation, et nous avons considéré l'utilisation de contrôles homogènes comme outil de contrôle, lesquels constituent un intermédiaire entre le contrôle linéaire et le contrôle en modes glissants. La décomposition modale consiste à séparer l'équation aux dérivées partielles paraboliques en deux composants distincts : le premier est une partie contrôlée de dimension finie qui capture les modes instables, tandis que le second est une partie résiduelle de dimension infinie englobant les modes stables. En isolant les modes instables, toute technique de conception de contrôle pour les systèmes en dimension finie peut être utilisée pour élaborer des stratégies de contrôle pour ce sous-système. Dans notre étude, pour la stabilisation du sous-système en dimension finie, nous avons utilisé des contrôles homogènes, qui offrent des propriétés de convergence en temps fini ou en temps fixe pour ce sous-système, contrairement au contrôle linéaire qui ne garantit qu'une convergence exponentielle. De plus, nous avons opté pour le contrôle homogène, car il permet d'obtenir une meilleure convergence avec un faible débordement du signal de contrôle et moins de pics dans le système durant la phase initiale de stabilisation, par rapport au contrôle linéaire qui, tout en cherchant à garantir une meilleure convergence, entraîne un important débordement du signal de contrôle et large pic dans le système au cours de cette même phase. Cette thèse, fondée sur la conception de contrôle homogène combinée à la décomposition modale, propose une étude approfondie sur la conception de contrôleurs homogènes en dimension finie pour la stabilisation des EDPs paraboliques modélisant des phénomènes d'écoulement ou des processus thermiques, en mettant particulièrement l'accent sur l'équation de réaction-diffusion et l'équation de Burgers 1D avec viscosité.