Potency of nilpotence

The dynamics of <a:math xmlns:a="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <a:mrow> <a:mi mathvariant="script">N</a:mi> <a:mo>=</a:mo> <a:mn>1</a:mn> </a:mrow> </a:math> supersymmetric gauge theories with matter in adjoint and fundamental representations and the superpotentials given by Arnold’s ADE singularities has been extensively studied in the literature. It was also conjectured that supersymmetric models with <d:math xmlns:d="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <d:mrow> <d:msub> <d:mrow> <d:mi>W</d:mi> </d:mrow> <d:mrow> <d:msub> <d:mrow> <d:mi>A</d:mi> </d:mrow> <d:mrow> <d:mi>k</d:mi> </d:mrow> </d:msub> </d:mrow> </d:msub> </d:mrow> </d:math> , <f:math xmlns:f="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <f:mrow> <f:msub> <f:mrow> <f:mi>W</f:mi> </f:mrow> <f:mrow> <f:msub> <f:mrow> <f:mi>D</f:mi> </f:mrow> <f:mrow> <f:mi>k</f:mi> <f:mo>+</f:mo> <f:mn>2</f:mn> </f:mrow> </f:msub> </f:mrow> </f:msub> </f:mrow> </f:math> , and <h:math xmlns:h="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <h:msub> <h:mi>W</h:mi> <h:msub> <h:mi>E</h:mi> <h:mn>7</h:mn> </h:msub> </h:msub> </h:math> superpotentials possess a dual description. In this paper, we revisit the analysis of the moduli space of <j:math xmlns:j="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <j:msub> <j:mi>A</j:mi> <j:mi>k</j:mi> </j:msub> </j:math> and <l:math xmlns:l="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <l:mrow> <l:msub> <l:mrow> <l:mi>D</l:mi> </l:mrow> <l:mrow> <l:mi>k</l:mi> <l:mo>+</l:mo> <l:mn>2</l:mn> </l:mrow> </l:msub> </l:mrow> </l:math> models by considering the duality along nilpotent directions on the moduli space. While our analysis provides additional evidence for the duality conjecture in <n:math xmlns:n="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <n:msub> <n:mi>W</n:mi> <n:msub> <n:mi>A</n:mi> <n:mi>k</n:mi> </n:msub> </n:msub> </n:math> models, we show that the duality conjecture fails for the <p:math xmlns:p="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <p:msub> <p:mi>W</p:mi> <p:msub> <p:mi>D</p:mi> <p:mrow> <p:mi>k</p:mi> <p:mo>+</p:mo> <p:mn>2</p:mn> </p:mrow> </p:msub> </p:msub> </p:math> models.