The semilinear heat inequality with Morrey initial data on Riemannian manifolds

Abstract The goal of this paper is to obtain estimates for nonnegative solutions of the differential inequality $$\begin{aligned} \left( \frac{\partial }{\partial t} - \Delta \right) u \le A u^p + B u \nonumber \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> with small initial data in borderline Morrey norms over a Riemannian manifold with bounded geometry. We obtain $$L^\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> estimates assuming $$\Vert u(\cdot ,0)\Vert _{M^{q, \frac{2q}{p-1}}} + \sup _{0 \le t&lt; T} \Vert u(\cdot , t) \Vert _{L^s} &lt; \delta ,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$1 &lt; q \le q_c:= \frac{n(p-1)}{2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> and $$1 \le s \le q_c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> . Assuming also a bound on $$\Vert u(\cdot , 0)\Vert _{M^{q', \lambda '}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo>