Variants of the Damascus inequality

Abstract In 2016, Dannan and Sitnik established the notable Damascus inequality, which features a symmetric structure under a multiplicative constraint. In this study, we consider the natural generalisation of this inequality by characterising all positive integers m and n such that the inequality $$\begin{aligned} \sum _{j=1}^m\frac{x_j^n-1}{x_{j}^{n+1}+1}\leqslant 0 \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> holds for any positive real numbers $$x_1, \ldots , x_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> with $$\prod _{j=1}^mx_j=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∏</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Our approach relies on the theories of GA-convexity and Sturm’s sequence. For the cases where the inequality fails, we also investigate the topological properties of the set of non-solutions.