Méthodes numériques d'apprentissage pour le contrôle stochastique en finance

Cette thèse explore l'utilisation de l'apprentissage par renforcement comme outil numérique pour la résolution de problèmes classiques de contrôle stochastique en finance. L'objectif n'est pas de concevoir de nouveaux algorithmes, mais d'adapter et d'évaluer des techniques existantes d'apprentissage par renforcement dans des cadres rigoureux de contrôle stochastique. Chaque problème est d'abord formulé et analysé à l'aide des outils classiques de la théorie du contrôle, tels que le principe de programmation dynamique, les équations de Hamilton--Jacobi--Bellman et les solutions de viscosité. Sur cette base, nous développons des méthodes numériques inspirées des avancées récentes en apprentissage profond, avec une attention particulière portée à l'optimisation de politiques.La première contribution concerne la valorisation des produits dérivés de type américain, en particulier les options bermudéennes. Nous proposons une revue technique approfondie et une implémentation détaillée des principales méthodes numériques issues de la littérature, incluant les schémas fondés sur les EDP, les modèles en arbre, les méthodes de Monte Carlo par régression et la méthode de Deep Optimal Stopping. Cette étude sert de référence pour introduire des algorithmes d'apprentissage par renforcement, en particulier les méthodes de gradient de politique. Ces dernières sont appliquées au problème de valorisation des options bermudéennes, et les expériences numériques confirment leur potentiel dans des contextes de haute dimension.La deuxième contribution porte sur l'optimisation des dividendes pour une compagnie d'assurance avec injections de capital et arrivées de sinistres auto-excitantes modélisées par un processus de Hawkes. Nous établissons des propriétés structurelles essentielles de la fonction valeur, telles que la monotonie et la régularité lipschitzienne, prouvons sa caractérisation comme unique solution de viscosité de l'inéquation variationnelle associée, et identifions un seuil explicite d'injection de capital. Sur le plan numérique, nous dérivons deux représentations du gradient de politique et concevons des algorithmes d'apprentissage par renforcement validés dans le cas de référence de Poisson puis étendus au cadre Hawkes, produisant ainsi des stratégies quasi-optimales.La troisième contribution développe un modèle cohérent de tenue de marché sur options qui intègre la dynamique du carnet d'ordres, l'impact de marché lié à la stratégie de couverture et un flux d'ordres client auto-excitant. Nous démontrons le caractère bien posé du problème de contrôle et l'absence d'opportunités d'arbitrage, et introduisons une méthode d'optimisation de politique reposant sur des réseaux de neurones pour la résolution numérique. Les expériences numériques montrent la faisabilité de cette approche et soulignent sa pertinence pour capturer l'interaction complexe entre la cotation et la couverture dans des marchés couplés.Dans l'ensemble, cette thèse combine une analyse théorique rigoureuse et des techniques modernes d'apprentissage par renforcement pour faire progresser la résolution numérique de problèmes de contrôle stochastique en finance. Elle démontre que l'apprentissage par renforcement peut constituer un complément pratique et adaptable aux méthodes classiques, en particulier dans les contextes de haute dimension où les approches traditionnelles rencontrent de fortes limites.