Maurer-Cartan equations and homotopy of operadic mapping spaces in positive characteristic

Le but de cette thèse est d'étudier le type d'homotopie d'espaces d'applications opéradiques. Dans une première partie, nous étudions les algèbres pré-Lie différentielles graduées à puissances divisées sur un anneau de caractéristique positive, et construisons une théorie de la déformation contrôlée par ces algèbres. Nous montrons que cette théorie de la déformation admet un analogue au théorème de Goldman-Millson, puis appliquons cette théorie au calcul des composantes connexes d'un espace d'applications dans la catégorie des opérades symétriques. Dans une seconde partie, nous définissons et étudions une notion d'espace de Maurer-Cartan simplicial associé à une algèbre brace complète. Nous montrons qu'une algèbre brace détermine une algèbre pré-Lie à homotopie près simpliciale à puissances divisées. L'espace de Maurer-Cartan simplicial est donné par les solutions de l'équation de Maurer-Cartan dans cette algèbre. Nous déterminons le type d'homotopie de cet ensemble simplicial, et montrons une extension du théorème de Goldman-Millson satisfaite par ces espaces simpliciaux. Nous montrons que nous pouvons décrire un espace d'applications dans la catégorie des opérades non symétriques en tant qu'espace de Maurer-Cartan simplicial associé à une certaine brace algèbre complète. Nous exprimons enfin un espace d'application dans la catégorie des opérades symétriques en tant qu'ensemble de Maurer-Cartan degré par degré de certaines algèbres pré-Lie à homotopie près à puissances divisées.