Semi-classical states for critical Hartree system with critical frequency

Abstract In this paper, we study the following critical Hartree system <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <m:mfenced close="" open="{"> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>4</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>∗</m:mo> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>β</m:mi> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>4</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>∗</m:mo> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="0.3333em"/> <m:mspace width="0.3333em"/> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>N</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:mo>−</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>V</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi>v</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>μ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msub> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>4</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>∗</m:mo> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mi>v</m:mi> <m: