On the topology of the Milnor boundary for real analytic singularities
Abstract We study the topology of the boundaries $$\partial F_{f}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $$\partial F_{I}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> of the Milnor fibers $$F_{f}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and $$F_{I},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> respectively, of real analytic map-germs $$f{:}\,(\mathbb {R}^M,0) \rightarrow (\mathbb {R}^K,0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$f_{I}:=\Pi _{I}\circ f{:}\,(\mathbb {R}^M,0) \rightarrow (\mathbb {R}^I,0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> that admit Milnor’s tube fibrations, where $$\Pi _{I}{:}\,({\mathbb {R}}^K,0)\rightarrow ({\mathbb {R}}^{I},0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Π</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the canonical projection for $$1\le I<K.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> For each I we prove that the Milnor boundary $$\partial F_{I}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi
Authors
- Maico F. Ribeiro (ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6909-6811)
- I. D. Santamaria Guarín
- J. Seade
- R. Araújo dos Santos
- A. Menegon
Institutions
- Institute of Mathematics and Computer Science (MD)
- Universidade Federal do Espírito Santo (BR)
- Mid Sweden University (SE)
- Universidad Nacional Autónoma de México (MX)
Publication Details
- Journal
- Mathematische Zeitschrift
- Published
- 2026-02-19
- DOI
- https://doi.org/10.1007/s00209-026-03940-w
- Primary Topic
- Algebraic Geometry and Number Theory
- Type
- article
- Field-Weighted Citation Impact
- 0.00
Funders
- Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico