Free 2-generated band in $$\beta \mathbb {N}$$

Abstract We construct a free 2-generated band $$\{e,p,e+p,p+e,e+p+e,p+e+p\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in $$\beta \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . As a consequence we obtain a new Ramsey theoretic result.