On the smoothness of solutions of fully nonlinear second order equations in the plane

Abstract We study interior $$C^{2,\alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> regularity estimates for solutions of fully nonlinear uniformly elliptic equations of the general form $$F(D^2u)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in two independent variables and without any geometric condition on F . By means of the theory of divergence form equations we prove that $$C^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> solutions of the previous equation are $$C^{2,\bar{\alpha }(\lambda /\Lambda )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mover> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> in the interior of the domain, where $$0&lt;\lambda \le \Lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>Λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are the ellipticity constants. We finally exploit the theory of nondivergence equations in the plane to obtain $$C^{2,\tilde{\alpha }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> regularity for an explicit exponent $$\tilde{\alpha }=\tilde{\alpha }(\lambda /\Lambda )&gt;\lambda /\Lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>Λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> .