Self-improving Estimates of Growth of Subharmonic and Analytic Functions

Abstract Given a bounded open subset $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> and closed subsets A , B of $$\mathbb {R}^k$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , we discuss when an estimate $$u(x)\le g(\operatorname {dist}(x,A\cup B))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>dist</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$x\in \Omega \setminus (A\cup B)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , for a function u subharmonic on $$\Omega \setminus B$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , implies that $$u(x)\le h(\operatorname {dist}(x,B))$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>dist</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$x\in \Omega \setminus B$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where $$g,h:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are decreasing functions and $$g(0^+)=h(0^+)=\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We seek for explicit expressions of h in terms of g . We give some results of this type and show that Domar’s work Domar, Y Ark. Mat. 3, 429–440 (1957) permits one to deduce other results in this direction. Then we compare these two approaches. Similar results are deduced for estimates of analytic functions.