Coxeter-type quotients of surface braid groups

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> be a closed surface, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we analyze the Coxeter-type quotient group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of the surface braid group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> by the normal closure of the element <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is the standard Artin generator of the braid group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Also, we study the Coxeter-type quotient groups obtained by taking the quotient of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> by the commutator subgroup of the respective pure braid group <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfenced close="]" open="["> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> and adding the relation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:math> is a closed orientable surface or the disk.