Rhaly Operators Acting on Hardy, Bergman, and Dirichlet Spaces

Abstract In this article we address the question of characterizing the sequences of complex numbers $$(\eta )=\{ \eta _n\}_{n=0}^\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> whose associated Rhaly operator $${\mathcal {R}}_{(\eta )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> is bounded or compact on the Hardy spaces $$H^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> ( $$1\le p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ), on the Bergman spaces $$A^p_\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> , and on the Dirichlet spaces $${\mathcal {D}}^p_\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> ( $$1\le p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$\alpha &gt;-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> ). We give a number of conditions which are either necessary or sufficient for the boundedness (compactness) of $${\mathcal {R}}_{(\eta )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> on these spaces. These conditions have to do with the membership in certain mean Lipschitz spaces of analytic functions of the function $$F_{(\eta )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> defined by $$F_{(\eta )}(z)=\sum _{n=0}^\infty \eta _nz^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math>