On the double critical <i>p</i> -fractional Schrödinger–Poisson system with electromagnetic fields in R3${\mathbb{R}}^{3}$

Abstract This paper investigates the existence and multiplicity of solutions to the following double critical p -fractional Schrödinger–Poisson system with electromagnetic fields in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> ${\mathbb{R}}^{3}$ : <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <m:mfenced close="" open="{"> <m:mrow> <m:mtable class="cases"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ϵ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Δ</m:mi> </m:mrow> </m:mfenced> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>A</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>ϵ</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi mathvariant="script">V</m:mi> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>♯</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>g</m:mi> <m:mfenced close=")" open="("> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> </m:mfenced> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">|</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mtext> </m:mtext> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mtext> in </m:mtext> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msup> <m:mrow>