An Improved Fit to the Density Fluctuations in Supersonic Isothermal Turbulence

Abstract The density distribution of supersonic isothermal turbulence plays a critical role in many astrophysical systems. It is commonly approximated by a log-normal distribution with a variance of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> M V is the rms volume-weighted Mach number, and b is a parameter that depends on the driving mechanism, which can be solenoidal (divergence-free), compressive (curl-free), or a mix of both. However, this fit neglects the driving correlation time, τ a , which plays a key role when compressive driving is significant. Here, we conduct turbulence simulations spanning a wide range of Mach numbers, driving mechanisms, and τ a values. In the compressive case, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> is not well fit by the standard expression. Instead, it scales approximately linearly with M V , and its dependence on τ a is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Θ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">e</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> , τ e is the eddy turnover time, and Θ is the Heaviside step function. Mixed driven turbulence shows a weak dependence on τ a , and for solenoidally driven turbulence, <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi>