Contribution à la théorie de la réalisation stochastique pour les systèmes linéaires à commutation

Cette thèse développe une théorie de la réalisation stochastique pour les modèles appelés Generalized Linear Switched Systems (GLSS), une classe unificatrice englobant plusieurs modèles dynamiques classiques et modernes, tels que les systèmes linéaires commutés (LSS), les modèles de Markov à sauts (JMLS), les systèmes linéaires à paramètres variant (LPV). Ces modèles permettent de représenter des comportements non linéaires et temporellement variables en combinant plusieurs sous-systèmes linéaires gouvernés par un signal de commutation.La contribution principale de cette thèse est la formulation d'une théorie de la réalisation stochastique pour les GLSS avec entrées et signal de commutation i.i.d. Le travail débute par un résultat de décomposition (Chapitre 3), démontrant que tout processus de sortie d'un GLSS peut être décomposé de manière unique en une composante déterministe (dépendante des entrées) et une composante stochastique (dépendante du bruit). Cette décomposition permet de tirer parti des résultats existants sur la réalisation déterministe et sert de base pour l'étude des représentations sous forme d'innovation.Le Chapitre 4 se concentre sur les GLSS autonomes stochastiques. Il propose une caractérisation algébrique permettant de vérifier si une telle représentation est minimale et sous forme d'innovation. Les conditions proposées sont suffisantes, et s'expriment uniquement en fonction des matrices du modèle. Ces résultats permettent de garantir l'unicité (à isomorphisme près) de la représentation, ce qui est crucial pour les problèmes d'identifiabilité.Le Chapitre 5 propose d'abord un algorithme de réalisation basé sur les covariances d'entrée-sortie, permettant de construire une représentation stochastique minimale d'un GLSS sous forme d'innovation, à partir de moments statistiques. Cet algorithme traite des enjeux fondamentaux liés à l'identification par sous-espace, notamment la réduction de dimension via des sélections appropriées, la garantie de minimalité sous forme d'innovation, ainsi que l'unicité à un isomorphisme près. Sur cette base, une procédure complète d'identification est ensuite formulée : elle consiste à estimer les covariances à partir de données d'entrée-sortie, puis à appliquer l'algorithme de réalisation. La cohérence asymptotique de l'identification est démontrée, et son efficacité computationnelle est assurée. Enfin, une phase de raffinement par descente de gradient est proposée pour améliorer la précision des paramètres estimés.