Infinite splitting in the syzygies of quaternionic groups

Abstract Let $${\mathcal {F}} \, = \, (\dots {\mathop {\rightarrow }\limits ^{\partial _{n+1}}} {\mathcal {F}}_n {\mathop {\rightarrow }\limits ^{\partial _n}} {\mathcal {F}}_{n-1}{\mathop {\rightarrow }\limits ^{\partial _{n-1}}} \dots \dots {\mathop {\rightarrow }\limits ^{\partial _1}} {\mathcal {F}}_0 \rightarrow {\mathfrak {R}} \rightarrow 0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mover> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mover> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mover> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mover> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mover> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be a free resolution over the group ring $${\mathfrak {R}}[\Phi ]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $${\mathfrak {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:math> is commutative and $$\Phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Φ</mml:mi> </mml:math> is finite. The $$n^{th}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>th</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> syzygy $$\Omega _n^{{\mathfrak {R}}[\Phi ]}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> is the stable class of $$\textrm{Im}(\partial _n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Im</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and has a tree structure with roots which do not extend infinitely downwards. We show that $$\Omega _3^{{\mathfrak {R}}[Q_{8p}]}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> has infinitely many isomorphically distinct modules at the minimal level when $$\,{\mathfrak {R}} = {\mathbb {Z}}[C_\infty ]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the integral group ring of the infinite cyclic