Existence of traveling waves for a fourth order Schrödinger equation with mixed dispersion in the Helmholtz regime

Abstract In this paper, we study the existence of traveling waves for a fourth order Schrödinger equations with mixed dispersion, that is, solutions to $$\Delta ^2 u +\beta \Delta u - Q(-i V \nabla ) u +\alpha u =|u|^{p-2} u,\ \text {in } \ \mathbb {R}^N,\ N\ge 2,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where the Q term represents a lower order symmetry breaking operator. We consider this equation in the Helmholtz regime, that is, when the Fourier symbol P of the operator is sign-changing and we assume that the zero set of the symbol is a manifold M . Under suitable assumptions, we prove the existence of solution using the dual method of Evequoz and Weth provided that $$p\in (p_1, 2N/(N-4)_+)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where the real number $$p_1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> depends on the number of principal curvature of M staying bounded away from 0. We also obtain estimates on the Green’s function of our operator and a $$L^p - L^q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> resolvent-type estimate which can be of independent interest and can be extended to other operators.