Approches multi-échelles pour les équations de réaction-diffusion et applications

Cette thèse porte sur le développement et l’analyse d’approches de type Éléments Finis Multi-Échelles (MsFEM), pour des équations de réaction-diffusion à coefficients oscillants. Ces approches reposent sur une approximation de type Galerkin, sur un maillage grossier. Les fonctions de base de l’espace d’approximation sont solutions de problèmes locaux, bien adaptés au problème multi-échelles considéré. Ces fonctions sont construites localement sur chaque élément du maillage grossier, à l’aide d’un maillage suffisamment fin pour bien capturer tous les détails de la microstructure. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux problèmes de réaction-diffusion dépendant du temps, ainsi qu’aux problèmes aux valeurs propres associés. Nous commençons par étudier le problème aux valeurs propres, où nous définissons des fonctions de base comme solutions de problèmes aux valeurs propres locaux. Une méthode d’oversampling ainsi qu’une méthode de filtrage sont utilisées. Nous proposons une analyse numérique de la méthode de filtrage dans un régime faiblement oscillant, et nous validons numériquement son efficacité dans un cadre plus général. Nous établissons une estimation d’erreur de l’approximation du problème aux valeurs propres par l’approche MsFEM, dans un cadre périodique. Cette approche MsFEMa été implémentée en FreeFEM, ce qui nous a permis de valider numériquement son efficacité, dans un cadre général. Nous montrons aussi comment utiliser cette méthode afin d’obtenir une estimation efficace de la solution du problème dépendant du temps. Nous présentons enfin différentes applications permettant de rentabiliser les pré-calculs de l’approche MsFEM.