Stability analysis of infinite dimensional systems and effect of perturbations/ : theory and applications

Cette thèse porte sur l’étude de la stabilité et de la stabilisation de certains systèmes de dimension infinie, en particulier les systèmes à retards et les équations aux dérivées partielles (EDPs). Le thème unificateur de l’ensemble des contributions est le développement de conditions facilement vérifiables, qui permettent d’étendre certains résultats classiques de stabilité et de stabilisation en dimension finie au cadre de dimension infinie.Dans une première partie, nous établissons un lien entre l’approche basée sur les fonctionnelles de Lyapunov et celles fondées sur les fonctions de Lyapunov pour l’analyse de la stabilité des systèmes à retards. Plus précisément, nous proposons une méthode systématique et constructive pour fabriquer des fonctionnelles de Lyapunov-Krasovskii (LKF) adaptées aux systèmes à retards, dont la stabilité peut être évaluée via les fonctions de Razumikhin ou de Halanay. Ces résultats s’inscrivent dans le cadre de la stabilité entrée-état (ISS), permettant ainsi une meilleure prise en compte des perturbations.Dans la deuxième partie, nous proposons des conditions de Lyapunov assouplies permettant d’établir l'ISS des systèmes à retards. L’un des atouts majeurs de ces conditions réside dans le fait que le taux de dissipation de la LKF dépend uniquement de la norme ponctuelle de la solution, et non de la fonctionnelle elle-même. À l’aide d’exemples illustratifs, nous montrons que ces conditions sont plus générales que les méthodes existantes, y compris la technique dite de "strictification", qui consiste à ajouter un terme exponentiel au noyau intégral de la LKF. Les limites de cette dernière méthode sont mises en évidence à travers un contre-exemple.La troisième contribution de cette thèse concerne la stabilisation des EDPs linéaires, pour lesquels l’opérateur différentiel admet une base de Riesz de vecteurs propres. Nous proposons des conditions suffisantes simples permettant d’assurer une stabilisation rapide, avec la construction d’un feedback relativement explicite, basé sur l’approche de la F-équivalence. En particulier, nos conditions améliorent les résultats existants en matière de stabilisation", notamment pour des opérateurs non paraboliques tels que les systèmes anti-adjoints.Enfin, nous illustrons nos apports théoriques à travers l’analyse d’un modèle de réacteur chimique et de modèles de type chemostat. Nous étudions tout d’abord l'ISS d’un modèle décrivant l’évolution de la température et du refroidissement dans un réacteur chimique. Contrairement à la plupart des résultats existants, nous garantissons ici l'ISS par rapport à la norme sup de l’état. Dans un second temps, nous nous intéressons à des modèles de chemostat intégrant une mortalité non nulle. Une stabilisation globale est obtenue dans deux configurations distinctes : un modèle à deux variables d’état, et un modèle à trois états dérivé d’une formulation de modèle de dimension infinie. Pour les deux modèles, nous concevons des feedbacks explicites qui, non seulement permettent de compenser l’effet de la mortalité, mais se réduisent également à des lois classiques bien connues lorsque le taux de mortalité est nul.