The Riemann-Liouville fractional integral in Bochner-Lebesgue spaces IV

Abstract In this manuscript, we extend our previous work on the Riemann-Liouville fractional integral of order $$\alpha &gt; 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in $$L^p(t_0,t_1;X)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In particular, we establish its boundedness for the case $$\alpha &gt; 1/p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , with $$1&lt; p &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , as well as the case $$\alpha &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> with $$p = \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Moreover, we present a comprehensive summary of the results obtained so far.