Spectral estimates for commutators of fractional derivatives

本文研究欧氏空间上由分数阶微分算子 $|D|^{\epsilon}$ ($0<\epsilon<1$)、Riesz 变换 $\{R_j\}_{j=1}^d$ 及乘法算子 $M_f$ 所生成的交换子 $[M_f, R_j |D|^{\epsilon}]$. 我们建立了该交换子奇异值的渐近极限, 并且给出了其弱 Schatten 类 $S_{\frac{d}{1-\epsilon},\infty}$ 的完整刻画，其中$f$ 属于局部可积函数类 $L_{1,\text{loc}}(\mathbb{R}^d)$，以及分数阶微分算子 $|D|^{\epsilon}$ 通过 Fourier 变换定义为：对任意 $\phi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ 和 $x\in\mathbb{R}^d$，有 $|D|^{\epsilon}\phi(x) = |x|^{\epsilon} \widehat{\phi}(x)$.