Convergence rates of particle approximation of forward-backward splitting algorithm for granular medium equations

Abstract We study the spatially homogeneous granular medium equation $$\begin{aligned} \partial _t\mu =\textrm{div}(\mu \nabla V)+\textrm{div}(\mu (\nabla W *\mu ))+\Delta \mu \,, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mtext>div</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> within a large and natural class of the confinement potentials V and interaction potentials W . The considered problem do not need to assume that $$\nabla V$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> or $$\nabla W$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are globally Lipschitz. With the aim of providing particle approximation of solutions, we design efficient forward-backward splitting algorithms. Sharp convergence rates in terms of the Wasserstein distance are provided.