The Dirichlet problem for the Brinkman system in exterior domains

Abstract The Dirichlet problem for the Brinkman system is studied in $$W^{1,q}(\Omega ,{\mathbb {R}}^m) \times L^q_\textrm{loc}(\overline{\Omega })$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mtext>loc</mml:mtext> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for unbounded domains $$\Omega \subset {\mathbb {R}}^m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with compact Lipschitz boundary. If the boundary of $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is of class $${\mathcal {C}}^{k,1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> we are able to study this problem in $$W^{k+1,q}(\Omega ,{\mathbb {R}}^m)\times D^{k,q}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Here $$W^{k,q}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denotes Sobolev space and $$D^{k,q}(\Omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> denotes homogeneous Sobolev space. We use the integral equation method. So, we are interested about behavior of volume potentials and also boundary layer potentials. As a consequence of results for the Brinkman system we prove the existence of a solution of the Dirichlet problem for the Darcy–Forchheimer–Brinkman system in the same function spaces.