Shrinking targets and recurrent behaviour for forward compositions of inner functions

We prove sharp recurrence results about boundary orbits of forward compositions of inner functions, inspired by fundamental results on iteration of inner functions. Fernández, Melián and Pestana gave a precise version of the Poincaré recurrence theorem for boundary iterates of an inner function that fixes 0. We generalise this to the non-autonomous setting of forward composition sequences F n = f n ∘ … ∘ f 1 , n ∈ N , where f n are inner functions that fix 0, establishing an interdependence between the rate of contraction of ( F n ) and the size of a shrinking target ( I n ) of arcs in ∂ D that ( F n ) hits. For a general inner function, Aaronson, and also Doering and Mañé, gave a remarkable dichotomy for boundary iterates. For forward composition sequences, we previously generalised their result in the case that orbits in D approach ∂ D sufficiently quickly; here we show that if orbits approach ∂ D sufficiently slowly, relative to the rate of contraction, then almost all boundary orbits are dense in ∂ D . Finally, we apply our results to wandering domains of transcendental functions, giving new information about the behaviour of iterates on the boundaries of such domains. The techniques we use include Philipp's version of the second Borel–Cantelli lemma and mixing results of Pommerenke for contracting sequences of inner functions. Nous démontrons des résultats de récurrence précis concernant les orbites au bord de compositions de fonctions intérieures, inspirés par des résultats fondamentaux sur l'itération de fonctions intérieures. Fernández, Melián et Pestana ont donné une version précise du Théorème de récurrence de Poincaré pour les itérées au bord d'une fonction intérieure qui fixe 0. Nous généralisons ce résultat au cadre non autonome des suites de composition F n = f n ∘ … ∘ f 1 , n ∈ N , où les f n sont des fonctions intérieures fixant 0, en établissant une interdépendance entre le taux de contraction de ( F n ) et la taille de cibles rétrécissantes ( I n ) d'arcs dans ∂ D que ( F n ) rencontre. Pour une fonction intérieure générale, Aaronson, ainsi que Doering et Mañé, ont établi une dichotomie remarquable pour les itérées au bord. Pour les suites de composition, nous avons précédemment généralisé leur résultat au cas où les orbites dans D approchent ∂ D suffisamment vite ; nous montrons ici que si les orbites approchent ∂ D suffisamment lentement par rapport au taux de contraction, alors presque toutes les orbites au bord sont denses dans ∂ D . Enfin, nous appliquons nos résultats aux domaines errants des fonctions entières transcendantes, fournissant ainsi des nouvelles informations sur le comportement des itérées aux bords de ces domaines. Les techniques utilisées incluent la version de Philipp du second lemme de Borel–Cantelli et les résultats de Pommerenke sur le mélange pour les suites contractantes de fonctions intérieures.