Analysis and sampling of metastable and nonequilibrium stochastic dynamics

Cette thèse présente des contributions à l'analyse de certaines équations différentielles stochastiques, motivées par des problèmes contemporains en physique statistique numérique, et plus particulièrement en dynamique moléculaire. Ces problèmes cruciaux sont ceux de la métastabilité, où la simulation en temps long de systèmes moléculaires est entravée par la rareté des transitions entre des états métastables, ainsi que celui de la mesure de propriétés de réponse dans des systèmes hors d'équilibre, où les méthodes classiques de réduction de variance ne peuvent être appliquées. Le travail développe des approches théoriques et algorithmiques pour attaquer ces obstacles, ancrées dans l'analyse spectrale, l'optimisation de forme et la formulation de nouvelles dynamiques stochastiques, ouvrant la voie au développement d'algorithmes plus efficaces. Une des principales contributions est le développement d'une méthode pour définir les états métastables par optimisation de forme. Plutôt que d'utiliser des définitions énergétiques, ou des constructions manuelles ad-hoc, ce travail propose d'optimiser la frontière de ces domaines dans l'espace des positions atomiques, pour maximiser un critère spectral mesurant une séparation locale des échelles de temps. Ce critère, donné par un rapport de valeurs propres de Dirichlet du générateur de la dynamique, est directement lié à l'efficacité de la famille « Parallel Replica » d'algorithmes de dynamique accélérée. Un algorithme robuste d'optimisation de forme est développée pour surmonter les difficultés liées à la haute dimension et à la dégénérescence des valeurs propres. Le problème de la définitions des états métastables est également étudié théoriquement, dans la limite dite semi-classique, via le calcul de nouvelles asymptotiques spectrales pour les diffusions réversibles dans des domaines dépendants de la température, ce qui donne un aperçu quantitatif de la sensibilité du spectre par rapport à la position de la frontière des domaines métastables à basse température. Ceci inclut une version dépendante de la géométrie de la formule d'Eyring-Kramers.Concernant le problème du calcul des propriétés de réponse hors d'équilibre, cette thèse introduit une méthode duale pour le calcul de coefficients de transport. Contrairement aux méthodes standard qui fixent le forçage externe et mesurent le flux qui en résulte, cette approche fixe le flux et mesure le forçage moyen nécessaire pour le maintenir. Ce travail élabore un cadre formel s'appliquant à une large classe de processus de diffusion, et montre numériquement que la méthode fournit un moyen plus efficace de calcul de coefficients de transport dans certains systèmes moléculaires réalistes. En dernier lieu, la thèse fournit une preuve de l'approximation suramortie pour la dynamique de Langevin, dans le régime de grande friction, avec bruit multiplicatif. L'originalité de l'approche réside dans l'utilisation d'estimées hypocoercives uniformes, plutôt que celle d'arguments de moyennisation stochastique. Cette approche simplifie grandement la preuve, donnant une explication intuitive du phénomène de dérive induite par le bruit.