Obstructions to positivity using Khovanov type theories

Diese Arbeit untersucht positive und braid positive Verschlingungen anhand klassischer Invarianten wie 3-Genus und Entknotungszahl sowie kategorifizierter Invarianten, darunter Khovanov- und HOMFLY-PT-Homologie. Wir betrachten zunächst die Beziehung zwischen Entknotungszahl und 3-Genus im Hinblick auf Stoimenows Vermutung, dass die Entknotungszahl gleich dem 3-Genus für faserbare positive Knoten ist. Aufbauend auf L. Rudolphs Resultat für braid-positive Knoten liefern wir zwei neue Beweise und zeigen, dass jedes positive Braid-Diagramm eines Knotens vom 3-Genus g genau g Kreuzungen enthält, deren Veränderung das Diagramm des Unknotens ergibt. Für faserbare positive Knoten versagen diese Methoden: Wir konstruieren explizit Gegenbeispiele, die zeigen, dass keine der drei Beweismethoden anwendbar ist. Eines dieser Beispiele könnte Stoimenows Vermutung widerlegen. Anschließend entwickeln wir Obstruktionen für die Positivität über Khovanov-Homologie. Bei nicht zerlegbaren positiven Verschlingungen liegt die erste Khovanov-Homologie in einer einzigen Quantengraduierung, bestimmt durch den Seifert-Genus, mit Rang aus dem Seifert-Graphen eines positiven Diagramms; die Torsion der zweiten Homologie ist ebenfalls konzentriert und tritt ausschließlich von Ordnung zwei auf. Folglich verschwindet die erste Khovanov-Homologie genau dann, wenn die Verschlingung faserbar ist. Schließlich untersuchen wir braid positive Verschlingungen über HOMFLY-PT-Homologie, die in minimalen homologischen Graduierungen verschwindet. Zur besseren Handhabbarkeit führen wir Varianten ein, einschließlich der kollabierten HOMFLY-PT-Homologie, und etablieren eine skein-exakte Sequenz analog zur Knoten-Floer-Homologie, die neue Berechnungsmethoden für Verschlingungshomologie bietet.