Radial symmetry and fractional p-Laplacian equation

Abstract In this paper we deal with the topic in two parts. First, we are interested in discussing whether $$ \theta _{1} \in \mathbb {S}_{\mathcal {H}}^{\varpi ; \psi }\left( \Omega \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ϖ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> solves the fractional p -Laplacian equation, then either $$\theta _{1}&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> or $$\theta _{1}&lt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> . It is also extremely important to ensure that $$f^{p} \phi \in \mathbb {S}_{\mathcal {H}}^{\varpi ; \psi }\left( \Omega \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ϖ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> . In this sense, motivated by the previous results, we are interested in proving the radial symmetry eigenvalue of the p -Laplacian fractional equation in space $$\psi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:math> -fractional $$ \mathbb {S}_{\mathcal {H}}^{\varpi ; \psi }\left( \Omega \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>ϖ</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> with $$1&lt; p &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$\varpi \in \left( 0,1 \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ϖ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> and $$p \varpi &lt;n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>ϖ</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Finally, we present two examples and comments on possible applications of the problem (1.1).