Orthodox ordered semigroups

Abstract An element e of an ordered semigroup $$\left( S,\cdot ,\le \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfenced> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> </mml:mfenced> </mml:math> is called idempotent (resp. generalised idempotent) if $$e\le {{e}^{2}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> (resp. $$\left( e,{{e}^{2}} \right) \in {{\Re }_{\le }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ℜ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> where $${{\Re }_{\le }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ℜ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> </mml:msub> </mml:math> is the smallest congruence on S containing the relation $$\le \cup {{\le }^{-1}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> ). The set of all idempotents (resp. generalised idempotents) of S is denoted by $$E\left( S \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> (resp. $${{E}^{G}}\left( S \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> ). S is called orthodox if (i) the set $$E\left( S \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> is non empty and (ii) $$ef\in {{E}^{G}}\left( S \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> for every $$e,f\in E\left( S \right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> . An element x in S is an inverse (resp. generalised inverse) of an element a of S if $$a\le axa$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$x\le xax$$